Aplicaciones de las transformaciones lineales

EJERCICIO 1 La aplicacion f   : (Z 3 ) 4 −→ (Z 3 ) 2 definida por f ( x , y , z, t ) = ( x − 2 y + z + 2 t, 2 x + z − t ) . es una aplicacion lineal. En efecto, f ((x1, y1, z1, t1) + (x2, y2, z2, t2)) = f (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2, t1 + t2) = = ((x1 + x2) − 2(y1 + y2) + (z1 + z2) + 2(t1 + t2), 2(x1 + x2) + (z1 + z2) − (t1 + t2)) = = (x1 − 2y1 + z1 + 2t1, 2x1 + z1 − t1) + (x2 − 2y2 + z2 + 2t2, 2x2 + z2 − t2) = = f (x1, y1, z1, t1) + f (x2, y2, z2, t2) De manera similar se comprueba que f (k · (x , y , z, t)) = k · f (x , y , z, t) EJERCICIO 2 La aplicacion f   : R3 −→ R2   definida por f ( x , y , z ) = (2 x + y 2 , x − z ) no es lineal En efecto, f (( x 1 , y 1 , z 1 ) + ( x 2 , y 2 , z 2 )) = f ( x 1 + x 2 , y 1 + y 2 , z 1 + z 2 ) = = (2( x 1 + x 2 ) + ( y 1 + y 2 ) 2 , ( x 1 + x 2 ) − ( z 1 + z 2 )) y f (( x 1 , y 1 , z 1 )) + f (( x 2 , y 2 , z 2 )) = (2 x 1 + y 2 , x 1 − z 1 ) + (2 x 2 + y 2 , x 2 − z ...

Como ejemplo, dirijámonos a producir la matriz estándar para la representación de la transformación lineal reflejando un conjunto de puntos en el plano x-y a través de la recta y = (−2x / 3). El primer paso para esto es determinar los vectores base. . Por lo tanto, podemos afirmar que, R2 es una transformación lineal, entonces podemos escribir que,◊Dado que y pertenece a R2. Imagina que A: R2 La imagen de la matriz base determina la imagen de cualquier elemento. Por lo tanto la imagen de a través de y = (−2x/ 3) es determinada mediante la obtención de una recta que pasa por (1, 0) y es que es ortogonal a . Esto está dado por y = (3x/ 2) – (3/ 2). El punto donde las dos rectas, esto es, y = (3x/ 2) – (3/ 2) e y = (−2x/ 3) se intersectan se dado como (9/13, −6/13). Tomamos p¬1¬ para ser el punto de reflexión de a través de la recta dada. Este punto es simétrico respecto a (9/13, −6/13) por lo tanto, podemos escribir que, Esto produce, De manera similar, la imagen del vec...

Aplicación de las transformaciones lineales: reflexión, expansión, contracción y rotación Rm.◊Graficar un conjunto de puntos en otro es lo que se conoce como transformación lineal de un conjunto de puntos. Existen ciertas propiedades básicas de las transformaciones lineales, las cuales si son tomadas en cuenta y aplicadas al momento de resolver un problema, pueden reducirlo un problema simple. La notación general utilizada para una transformación lineal es T: Rn Transformaciones lineales Las transformaciones lineales forman un “hilo” que se entreteje en la tela de este texto. Su utilización mejora el sentido geométrico de lo escrito. Por ejemplo, en el capítulo 1, las transformaciones lineales proporcionan una visión dinámica y gráfi ca de la multiplicación matriz-vector. 1. Reflexión: Cuando un conjunto de puntos dados es graficado desde el espacio euclidiano de entrada a otro de manera tal que este es isométrico al espacio euclidiano de entrada, llamamos a la operación real...